Discussion:Loi binomiale

Sans titre

La production d'un atelier est assurée par 20 machines identiques. Une pièce de ces machines, particulièrement délicate, fait l'objet d'une surveillance régulière. Sur 200 jours de fonctionnement, on a relevé pour l'ensemble des machines 180 avaries sur la pièce considérée, soit une moyenne journalière de 0,9 avarie dans l'atelier.

Soit X la variable aléatoire indiquant le nombre de machines en panne dans la journée plus d'une fois par jour.

1) Quelle est la loi suivie par X ?

2) Que représente, dans cette loi, le nombre moyen de machines ayant une avarie dans la journée ?

3) En déduire les paramètres de la loi suivie par X.

Combinaisons

Bonsoir. Petit commentaire: je crois qu'il serait plus approprié d'utiliser la notation ${n \choose k}$ plutôt que $C_{n}^{k}$. Cette dernière notation n'est vraiment pas conventionnelle (elle est plutôt vieille), et elle n'est utilisée à toute fin pratique qu'en France et dans peut-être d'autres pays comme la Belgique et les alentours. Le reste de la planète utilise la première notation, et tous les manuels scolaires (sauf ceux de France, peut-être) utilisent la première notation plutôt que la deuxième.

Il est probablement acceptable de dire qu'il existe telle ou telle autre manière de noter une combinaison, mais je crois qu'il serait mieux de continuer l'article en utilisant l'autre notation -- ${n \choose k}$ -- plutôt que la moins conventionnelle. C'est pas mal la première fois que je vois $P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ de toute ma vie, et je fais des probabilités depuis maintenant 1 an et quelque...

J'ai regardé combinaison, et on dirait que même cet article-là semble d'accord avec ce que je dis, et ce même s'il a probablement été rédigé depuis la France.

Je vais donc modifier l'article principal, veuillez passer vos commentaires si vous en avez. Je vais laisser l'ancienne notation là où elle a sa place, mais dans les formules, je vais remplacer, et donc converger un peu plus vers son équivalent anglophone, sur wikipedia.

Seigneur101 23 janvier 2007 à 04:53 (CET)

D'acord pour mettre les deux notations, mais si tu pouvais éviter de considérer la "Francophonie européene" comme "certaines régions", merci.

Je ne suis pas vraiment d'accord avec le commentaire ci-dessus. J'ignore à quel niveau il a pu pratiquer les probas, de mon coté, à bas niveau (ie Bac+5 scientifique et technique non spécialisé en proba ou en maths), c'est la première fois que je vois la notation anglaise. Accessoirement, cette notation est identique à celle des vecteurs en notation française, ce qui introduit une confusion. D'accord donc pour rappeler à titre anecdotique la double notation, mais pourquoi utiliser une notation étrangère dans un article destiné à la France et/ou aux autres pays francophones? 82.120.74.163 (d)

Notation $n \choose p$ en vigueur en Terminale en France depuis 2002... La notation a donc été uniformisée dans la formation initiale et devrait l'être aussi à mon avis sur Wikipédia (quitte à rappeller aussi éventuellement l'ancienne). HB (d) 29 septembre 2008 à 17:25 (CEST)

Convergence vers la loi normale

Je ne sais pas s'il est judicieux de laisser croire que le contenu dans la boite déroulante est une démonstration du théorème de Moivre-Laplace. En tant que que prof de math de base qui "rampe " au sol, je vois des égalités confondues avec des équivalences, des dérivées par rapport à des variables entières et un résultat final qui est une limite partielle (car sigma dépend encore de n qui est sensé tendre vers l'infini). Pourtant , les éléments clés figurent : recherche d'un maximum, passage au logarithme, utilisation de la formule de stirling, utilisation d'un développement limité d'ordre 2). Toutes les démonstrations que je trouve dans la littérature, ou bien sont beaucoup plus longues (mais plus rigoureuses ) (voir par exemple la section 7.4 du cours de M. Suchet), ou bien font intervenir des outils plus puissants (J. Neveu utilise les propriétés des fonctions caractéristiques, le site des mathématiques. net indique que la démonstration n'est pas simple et suggère d'utiliser la transformée de Laplace [1]). Un autre bouquin (statistique et probabilité pour papa) démontre rigoureuse que ${\sqrt {npq}}P(X=k)$ converge vers${\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-t^{2}/2}$ où $t={\dfrac {k-np}{\sqrt {npq}}}$ à l'aide développement limité d'ordre deux du logarithme mais il lui faut encore deux pages pour conclure que P(X<k) converge vers F(t) où F est la fonction de répartition de la loi normale centré réduite.

Le lemme de Scheffé (version discrète) permet de conclure directement, une fois qu'on prouve que ${\sqrt {npq}}P(X=k)$ converge vers${\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-t^{2}/2}$ où $t={\dfrac {k-np}{\sqrt {npq}}}$. Ce Lemme est assez élémentaire, et, surtout, il est puissant et simplifie beaucoup de preuves. Cela donnerait une démonstration dans l'esprit de celle de de Moivre, qui se contentait de prouver que ${\sqrt {npq}}P(X=k)$ converge vers${\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-t^{2}/2}$ où $t={\dfrac {k-np}{\sqrt {npq}}}$, sans aller plus loin, je crois (et uniquement dans le cas p=q. De Moivre disait qu'on pouvait faire de même pour p différent de q, sans donner les détails, voir (en) Stephen M. Stigler, The History of Statistics : The Measurement of Uncertainty before 1900, Harvard, Belknap Press of Harvard University Press, 1^er mars 1990, 1^re éd., 432 p. (ISBN 978-0674403413 et 067440341X), chap. 2 (« Probabilists and the measurement of uncertainty »), p. 78-88, plus précisément page 84).--Chassaing 23 février 2010 à 17:20 (CET)

Je propose de remplacer cette boite déroulante par une explication sur la nature de la convergence (convergence de la fonction de répartition vers celle de la loi normale) et son utilisation en pratique, quitte à ajouter un lien vers un ouvrage (à trouver) qui en présente une démonstration "simple". HB (d) 20 février 2010 à 14:34 (CET)

[[--21 février 2010 à 06:08 (CET)82.228.66.65 (d) 21 février 2010 à 06:08 (CET)]]

La démonstration avec l'usage des fonctions caractéristiques est à la page théorème de Moivre-Laplace.

Elle est simple et suppose le théorème suivant : d'après les propriétés des transformées de Fourier, deux variables ayant même fonctions caractéristiques ont même loi de probabilité.

La fonction caractéristique détermine de façon unique une distribution de probabilité. D'où son nom.

Si$\int \left|\varphi _{X}(t)\right|dt<\infty$ alors $X$ admet une densité $f(x)$ continue et $f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \varphi _{X}(t)e^{itx}dt$.

Autre chose : sur la page loi binomiale on indique que l'approximation est valabe lorsque : n > 30, np > 5 et nq > 5.

Sur la page théorème de Moivre-Laplace la condition est : np(1 − p) > 9.

Tu sembles donc être d'accord pour dire que la démonstration en boite déroulante ne doit pas rester. Oui, la démonstration avec les fonctions caractéristiques est la plus simple mais elle utilise un outil puissant qu'il faut avoir étudié au préalable (la fonction caractéristique caractérise la loi, se comporte intelligemment avec la somme...). Tu soulèves aussi un autre problème qui est le domaine d'application : contradiction donc retour aux sources:

• Les conditions présentes dans cet article sont issus de "statistique pour papa", un livre de vulgarisation, il propose (n>30, np > 5 et nq > 5) ou (npq > 3).
• d'autres livres de stat donnent aussi les conditions (np > 5 et nq > 5) [2] p 94, [3] p 80
• Cet autre livre[4] p 137 donne comme condition (n>30, np > 15, npq >5)
• Suchet cite la condition imposée par Upsensky pour calculer une majoration de l'erreur commise : npq > 25
• premier pas en stat (p 203) dit que l'approximation est bonne quand np est compris entre $3{\sqrt {npq}}$ et $n-3{\sqrt {npq}}$
• l'irem de franche comté donne n>50 et p et q pas trop voisin de 0 ni 1 - même contrainte dans le bulletin n 444 de l'APMEP

donc beaucoup de variabilité dans les conditions: les dernières étant les plus sages à mon avis. En revanche je n'ai pour l'instant pas trouvé npq > 9 (mais cela doit exister aussi....). Cela ne nous dit pas quoi mettre dans l'article ... HB (d) 21 février 2010 à 10:38 (CET)

Je ne peux que renvoyer à Berry–Esseen theorem qui fournit une borne (peut-être grossière) pour la rapidité de convergence. Je crois me rappeler que la loi binomiale (la loi de Bernoulli en réalité) est la loi qui induit la convergence la moins rapide (de la suite des fonctions de répartition) parmi les lois satisfaisant aux hypothèses du Théorème de Berry Esseen. En conséquence la borne de Berry Esseen est éventuellement grossière pour d'autres lois, mais raisonnablement précise dans le cas de la binomiale (ceci dit je n'ai pas le temps d'être plus précis en ce moment). Je n'ai pas de sources en tête, à part une vague réminiscence d'avoir appris cela dans un livre de Murray Rosenblatt, Markov processes: structure and asymptotic behavior, page 26 d'après Google books. On mentionne dans Stigler (pages 137-149) que Laplace, dans Théorie analytique des probabilités, 1812, page 324, fournit un TCL bivarié (et a fortiori le TCL classique), avec comme outil de démonstration les fonctions caractéristiques. Ailleurs dans Stigler, on mentionne que Laplace connaissait le TCL pour la binomiale avec paramètre général aux alentours de 1774, mais j'avoue que je n'ai pas l'intention de vérifier dans les écrits de Laplace dans un avenir proche ....  :-(

--Chassaing 23 février 2010 à 17:46 (CET)

Merci pour toutes ces infos. Elles confirment que le théorème ne s'écrit pas en quelques lignes sans faire appel à d'autres outils (fonction caractéristique ou lemme de Scheffé). Merci aussi pour tes indications sur une majoration de l'erreur. Tous les renseignements que tu apportes devraient trouver leur place davantage dans l'article théorème de Moivre-Laplace. Bon, je compte donc ici supprimer la démonstration, donner l'énoncé du théorème, dire que l'erreur est majorée par ${\dfrac {k}{\sqrt {npq}}}$ pour donner ensuite quelques critères d'utilisation... en attendant qu'après la loi de Bernoulli et la loi de Poisson, tu t'intéresses au théorème de Moivre-Laplace et à la loi binomiale et que tu les transformes eux aussi, en articles de meilleure facture.. HB (d) 24 février 2010 à 15:34 (CET)

Espérance, variance, écart type

Bonjour. J'ai essayé de comprendre la construction du paragraphe et il me semble qu'il y a une confusion qui a inféré également une erreur dans les définition et les formules de ce paragraphe :

• Confusion sur le n : conformément à la convention et à l'introduction de cet article, n est le paramètre correspondant au nombre d'épreuves de la loi binômiale et non au nombre de variables aléatoires.
• Confusion sur le p : de même, p est plutôt le paramètre de la loi binômiale correspondant à la probabilité de succès au cours d'une épreuve et non l'espérance des variables aléatoires.
• J'émets une réserve quant à la bonne formulation des définitions suivantes

par linéarité de l'espérance, E[X] est la somme des espérances de ces variables de Bernoulli ; or elles ont pour espérance p et pour variance p(1-p), d'où E[X]=np

• Pour la 2ème définition, il me semble qu'il y a un problème

par indépendance des n variables de Bernoulli, V(X) est la somme des variances de ces n variables aléatoires, soit V(X)=np(1-p)

Le problème est la définition suivante qui vraisemblanlement est fausse :

V(X) est la somme des variances de ces n

$\sigma _{X}={\sqrt {np(1-p)}}$

En effet, il est connu que la variance d'une loi binômiale est donnée par : V(X) = p(1-p) = pq totalement indépendante du paramètre n.

Preuve :

n le nombre d'épreuves, p la probabilité de succès à chaque épreuve et 1-p la probabilité d'échec associée.

Le nombre de succès et d'échecs probables sont donc respectivements np et n(1-p).

Le carré de l'écart de chaque épreuve est donné par :

(1-p)² si épreuve de succès.

(0-p)² = p² si épreuve d'échec.

La somme des carrés des écarts à la moyenne pour les épreuves de succès est donc np(1-p)².

La somme des carrés des écarts à la moyenne pour les épreuves d'échec est donc n(1-p)p².

La somme des carrés des écarts à la moyenne est donc np(1-p)² + n(1-p)p² = np(1-p)( (1-p) + p ) = np(1-p)(1) = np(1-p).

La variance V(X) étant la moyenne de la somme des carrés des écarts à la moyenne, on a donc
V(X) = np(1-p)/n = p(1-p) = pq

Il en résulte que la définition de l'écart-type en est affecté :

$\sigma _{X}={\sqrt {p(1-p)}}$ et non $\sigma _{X}={\sqrt {np(1-p)}}$

Fin de démonstration.

En attente de vos commentaires SVP.

--Rabah LEKHEBASSENE 11 juin 2013 à 15:07 (CEST)

Je trouve par ailleurs des références web qui vont dans le sens des explications que j'ai fournies :

• Site de l'université de Lyon I
• Site de l'académie de Versailles
• Site spécialisé en statistiques
• Site amateur

La meilleure, c'est que la version anglophone de cet article fait la confirmation:

• [[5]]
  

--Rabah LEKHEBASSENE 11 juin 2013 à 15:26 (CEST)

Plusieurs réponses, pêle-mêle :

• Les doubles définitions de n et p reviennent strictement au même.
• Toutes vos refs montrent bien que la variance d'une loi de Bernoulli vaut pq et la variance d'une loi binomiale vaut npq (si, même la version(en) de Wikipédia, donc je ne vois pas pourquoi s'appuyer sur ces liens pour votre calculs.
• Enfin, votre calcul ne veut pas dire grand chose, à commencer par sa première phrase

Le nombre de succès et d'échecs probables sont donc respectivements np et n(1-p).

Qu'est-ce que cela signifie ? On comptera le nombre de succès parmi les épreuves réalisées, pas de façon déterminée...

Kelam (mmh ? o_ô) 11 juin 2013 à 15:38 (CEST)

Très bien merci, c'est que je n'arrivais pas à faire la part entre loi de Bernoulli et loi binômiale qui n'en faisait qu'une dans mon esprit et systématiquement, je me reportais aux chapitres relatifs à la loi de Bernouilli pour rechercher les formules. Doit-on supprimer cette partie de la discussion pour faire du vide ou bien la conserver ?

isodelta

Non non, on peut laisser, aucun problème. Bonne journée ! Kelam (mmh ? o_ô) 11 juin 2013 à 16:08 (CEST)

Correction d'une grosse faute au paragraphe 8, et interrogation en suspens

J'ai paré au plus pressé en effectuant une correction minimaliste au paragraphe 8 : la loi binomiale n'admet pas de densité ! C'est une loi discrète, de sorte que sa fonction de répartition n'est pas continue sur $\,\mathbb {R} \$, et elle ne saurait satisfaire aux critères d'existence d'une densité (cf.Densité_de_probabilité#Crit.C3.A8res_d.27existence_d.27une_densit.C3.A9). Naturellement, ce ne sera pas la première fois qu'on verra confondre système de probabilités et densité de probabilité ; et pourtant, il s'agit d'objets mathématiques de natures fondamentalement différentes ! faut-il vraiment rappeler par exemple qu'une probabilité est comprise entre 0 et 1, alors qu'une densité n'est même pas nécessairement bornée ? (Il est intéressant peut être d'adopter un point de vue physique pour se convaincre de cette différence de nature. Une probabilité est un nombre sans dimension. La densité de probabilité d'une variable aléatoire $\scriptstyle \,X\$ s'exprime dans une unité qui est (unité de $\scriptstyle \,X\$)^-1.)

Cette grosse faute (qui aura tout de même tenu un peu plus d'un an) est malheureusement aussi présente à deux reprises dans l'infobox, et ça je ne sais pas comment le corriger.

Mais au-delà de cette correction indispensable, je m'interroge sur l'opportunité de ce paragraphe. Pour commencer, la « similarité » entre les deux formules est toute relative : il y a dans l'expression de la densité de Fischer un terme en $\scriptstyle \,1/x\$ qui n'a aucun équivalent dans l'expression des probabilités binomiales : ce n'est pas rien ! Et surtout, mentionner une hypothétique similarité formelle (partielle de surcroît !) est peu intéressant en soi s'il n'y a pas un commentaire critique : s'agit-il d'une simple curiosité, une coïncidence ? ou bien existe-t-il des raisons profondes qui expliquent cette similarité, et ce rapprochement a-t-il une signification ? Pour le moment, le lecteur reste sur sa faim.

Le Borogove  (à vous de jouer) 18 juillet 2014 à 18:21 (CEST)

Merci beaucoup à HB (d · c · b) pour la correction de l'infobox : quelle promptitude ! Le Borogove  (à vous de jouer) 18 juillet 2014 à 18:24 (CEST)

En fait simple concours de circonstance: un clic sur ma liste de suivi et un problème déjà rencontré sur une autre infobox d'où la correction rapide.

Concernant la comparaison avec la loi de Fisher, je n'ai pas pour habitude de supprimer ce que je ne comprends pas mais je trouve aussi que cette analogie est obscure. C'est peut-être parce que la loi de Fisher ne m'est pas familière. On retrouve dans l'article loi de Fisher la même comparaison ajoutée à la même époque. Je pose une alerte sur le projet probabilité et statistique sans grand espoir car le projet semble endormi (une alerte posée par moi en mai 2014 n'a toujours pas été gérée). Si d'ici quelques jours, personne n'est venu défendre cette section, je prendrai sur moi de la supprimer dans les deux articles. HB (discuter) 18 juillet 2014 à 18:54 (CEST)

AMHA, l'article souffre aussi d'autres problèmes. Dans les domaines où je prétends intervenir, (pas ici), j'adopte la démarche suivante
(1) Rechercher dans Historique : Outils externes et statistiques: Rechercher l'auteur d'un passage de l'article (WikiBlame). Ici : version 12 novembre 2009 à 12:57 modifiée en dernier par Kelam.
(2) Si celui ci peut être joint {{notif}}  Kelam : ce passage est controversé, il faudrait l'étayer par une référence. Ce modèle prévient l'utilisateur que son nom est cité ici.
(3) Je mettrais alors dans l'article un modèle {{refnec}} qui affiche ^{[réf. nécessaire]} OU je ferais une correction appuyée sur une source citée en référence. Toutes ces opérations obligent à utiliser l'éditeur de code, évidemment.
(4) Je cherche des collaborateurs: la page de Kelam indique qu'il est en wikislow, peu de chances qu'il réagisse ; l'article Loi de Fisher a une section qui fait le pendant de celle-ci : même démarche (Kelam est-il l'auteur ultime ?) insertion le 12 novembre 2009 à 13:46 par Kelam. L'auteur principal de l'article est  Ludovic89 : qu'en pense-t-il ? Les auteurs principaux de Loi binomiale sont (plus de 10% du texte)  HB :  Zweistein :  Cdang :  Chassain : qu'en pensent-il ?
(5) Laisser un peu de temps avant d'aller plus loin.
Cordialement, PolBr (discuter) 19 juillet 2014 à 09:37 (CEST)

Tu as raison PolBr, la première chose à faire est de contacter l'auteur du passage mais je ne comprends pas pourquoi tu parles de Kelam, il me semble que c'est Cdang qui a ajouté l'information[6]. Je vais donc l'inviter sur sa page de discussion.

Concernant l'analogie, elle est d'autant plus lointaine que la fonction gamma prolonge bien la factorielle mais avec décalage : Γ(n+1)=n!

D'autre part, j'ai trouvé dans ce document, p. 68, une relation entre Loi binomiale et Loi de Fisher mais elle est plus compliquée et le document ne dit pas de quelle manière on peut l'utiliser : Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et si k est un entier compris entre 0 et n, alors $\mathbb {P} (X\leq k)=\mathbb {P} (F\geq x)$ où F suit une loi de Fischer de paramètres $\nu _{1}=2(k+1)\,,\,\nu _{2}=2(n-k)$ avec $x={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {p}{1-p}}$ (ce qui donne bien $p={\frac {x\nu _{1}}{x\nu _{1}+\nu _{2}}}$). C'est peut-être à ça que pensait Cdang ?HB (discuter) 19 juillet 2014 à 11:21 (CEST)

C'est pas parce que je suis en wikislow que je suis absent .

Mais pour ma défense, je dirai que ma formation en probas/stats reste très académique et légère (je suis plus numéricien que probabiliste), donc mes modifications sur les articles des lois de probas restent essentiellement de forme (uniformisation des notations, corrections des formules et des valeurs de moments...) Pas la peine de me reprocher de parler de densité pour une loi discrète, on m'a toujours dit comme ça !

Pour le passage qui nous intéresse (comparaison binomiale/Fisher), si aucune source ne vient appuyer cette ressemblance, on peut supprimer.

Kelam (mmh ? o_ô) 19 juillet 2014 à 11:41 (CEST)

Bonjour,

tout d'abord, désolé pour la faute. Je connais la différence, mais n'étant qu'un utilisateur des stats, je me permet des écarts de langages qui certes n'ont pas lieu d'être.

Quant à l'intérêt, hé bien c'est il me semble à l'origine des formules des rangs utilisées en fiabilité. Du coup, il y a peut-être des choses à corriger dans l'article Loi de fiabilité à ce sujet.

cdang | m'écrire 23 juillet 2014 à 16:36 (CEST)

Merci pour ta réponse. Il y a cependant quelque chose qui me chiffonne. Tu dis que cette formule a son utilité car tu l'utilises dans une démonstration non sourcée d'un article dont tu es l'unique contributeur. Comme je n'ai pas le niveau suffisant pour comprendre l'article en question, je ne peux que te faire confiance. Or ce n'est pas vraiment l'esprit de Wikipedia. Au niveau où tu te places dans tes ajouts dans les articles, la vérifiabilité ne peut pas s'opérer par une relecture de personnes compétentes car il y en a trop peu de ce niveau en activité(en gros, il n'y a personne actuellement si j'en crois le silence sur le projet stat et proba). La vérifiabilité ne peut se faire que par référence à un ouvrage publié et les démonstrations, à ce niveau, me semble dispensables (mieux vaut pas de démonstrations que des démonstrations persos peut-être approximatives). J'ai beaucoup évolué au cours de ces dix ans de contributions et je suis devenue plus prudente, voire frileuse. HB (discuter) 23 juillet 2014 à 19:54 (CEST)

Hum, euh, alors, on peut discuter de la philosophie de Wikipédia : oui, il faut tant que faire se peut sourcer, c'est une excellente pratique que je soutiens, pour autant, un principe de base est aussi N'hésitez pas !. Il me semble bien que l'esprit, c'est : « sourcez si vous pouvez, mais ne vous bridez pas pour autant » ; tant que ça reste peu polémique et que ce n'est pas du WP:TI, je ne vois pas le problème.

Et je ne fais pas que botter en touche. Disons qu'il y a à la base une pratique professionnelle avec des méthodes issues de livres sérieux, mais comme souvent, on ne s’embarrasse pas de références dans la transmission des méthodes. Alors je fais part de ma pratique professionnelle, ce qui est je crois un des buts de WP, et je cherche ça et là des sources pour appuyer, mais je ne les trouve pas toujours tout de suite. La source mentionnée ci-dessus (Morice 1966) est intéressante et àmha intégrable.

Après, concernant la vérifiabilité : WP a pour but de tendre vers la qualité, mais mis à part les WP:BA et WP:AdQ, elle n'a jamais prétendu remplacer des sources solides. On peut très bien mettre une balise {{à sourcer}}, elle est là justement pour ce genre de situations.

cdang | m'écrire 24 juillet 2014 à 13:07 (CEST)

Je suis finalement revenue à une version plus sourçable de cette relation. Mais je ne peux pas toucher, faute de compétence à l'article loi de fiabilité HB (discuter) 28 août 2014 à 14:15 (CEST)

Bonjour,je suis en pleine réécriture totale de l'article. J'ai donc repris ce point sur la loi de Fisher et j'en ai rajouté sur d'autres lois. Mon but : atteindre le label bA ... J'ai encore du boulot. Ipipipourax (discuter) 8 octobre 2014 à 17:41 (CEST)

Amélioration finale de l'article

Je suis en phase finale de la réécriture de l'article. En fait je vais à cours d'idées... Je suis preneur de tout commentaire sur des ajouts ou oublis de ma part. Ipipipourax (discuter) 28 octobre 2014 à 19:54 (CET)

Ca fait plusieurs mois que l'article est à peu près stabilisé. Je vais bientôt le proposer en label BA Ipipipourax (discuter) 21 janvier 2015 à 12:04 (CET) :

Salut, ça me semble une bonne idée de proposer l'article, ça fait un moment qu'on a pas eu de labels en maths et l'article a une bonne tête. Je vais essayer de faire une relecture rapide. --Roll-Morton (discuter) 23 janvier 2015 à 11:32 (CET)

Remarques (je pourrais modifier certains trucs moi-même, mais je préfère avoir ton aval) :

Je m'immisce dans la suite car j'ai été notifiée par Roll-Morton - HB (discuter) 23 janvier 2015 à 19:31 (CET)

• Il me semble qu'il faudrait un début d'intro plus gentil, phrases plus courtes, moins de notations etc.

  J'ai changé l'intro pour repousser les notations math un peu plus loin. Ipipipourax (discuter) 24 janvier 2015 à 17:28 (CET)

• L'expression Elle a été découverte me semble un peu forte, c'est un objet assez naturel, il a dû découvert et oublié plusieurs fois.

  En fait je n'ai fait que reprendre la source : "fut découverte". Ce n'est pas étonnant, à cette époque, la notion d'étude de l'aléatoire en était à ses tout début et faire une somme de succès n'était pas naturel ... Après je peux changer si le terme dérange. Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 13:56 (CET)

  En histoire des maths, les choses sont rarement «découvertes» et procèdent d'une longue maturation. Bernoulli profite des réflexions de Pascal et Fermat (géométrie du hasard) et de Huyghens (qui met en place une des premières non-équiprobabilité). L'utilisation des dénombrements et du triangle de Pascal est déjà présent chez Pascal et Fermat pour résoudre le problème des partis (mais il s'agit d'un cas d'équiprobabilité). Il serait plus prudent de parler de mise en place et de de dire que la loi est énoncé par Bernoulli et non découverte. (pour de la lecture [7], [8], [9], [10], [11] HB (discuter) 23 janvier 2015 à 19:31 (CET)

  J'ai remplacé "découverte" par "introduite". Ipipipourax (discuter) 24 janvier 2015 à 17:07 (CET)

• Pour étudier des phénomènes sonne très vague et ne correspond pas vraiment à la suite (je me serais attendu à des phénomènes naturels).

  changement en : "réaliser des calculs dans des situations concrètes". Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 13:56 (CET)

• Peut-être que l'historique pourrait être placé plus bas... Je ne sais pas trop.

  J'ai mis après les deux sections définition. Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 13:56 (CET)

• Il faut quelque chose pour la notion d'indépendance : a minima un lien interne mais je serais partisan d'une petite explication.

  J'ai rajouté la définition mathématique dans la section math, cependant dans les sections du début, la notion d'indépendance est celle du langage courant. Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 13:56 (CET)

• Il y a une répétition de l'appelation épreuves de Bernoulli.

  J'ai supprimé ou amélioré un certain nombre de ces termes, peut-etre pas tous ... Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 13:56 (CET)

• L'image de l'arbre est bizarre (cadre ultra-serré).

  oui je sais mais c'est la seule image potable que j'ai trouvé pour illustrer. J'ai un peu agrandi l'image, c'est peut etre mieux. Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 13:56 (CET)

  La présentation de l'arbre est non standard (je dirait même fausse). En règle général, les issues (Succès et Échec) correspondent à des noeuds et les probabilités sont les pondérations des arêtes. J'ai tenté une correction dans Fichier:Loi binomiale.svg. HB (discuter) 23 janvier 2015 à 19:31 (CET)

  Merci pour cette image mieux présentée, j'ai changé dans la section arbre. J'ai rencontré tout type d'arbre de probabilité en fonction du contexte : pré-bac ou post-bac, matheux ou physicien, théorique ou appliqué ... Bref, je ne suis pas sûr qu'il y ait une unique manière de présenter. J'ai laissé l'arbre pour la définition intuitive, il me parait plus simple à comprendre. Ipipipourax (discuter) 24 janvier 2015 à 17:07 (CET)

• Peut-être que la partie définition intuitive devrait être plus développée, et contenir un peu de la représentation par arbre.

  J'ai rajouté avec une belle image d'arbre que je viens de faire. J'ai un peu l'impression de tourner en rond dans les explications. Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 17:48 (CET)

• Je trouve que les caractérisations arrivent un peu comme un cheveu sur la soupe.

  Peut être les mettre en fin de section définition mais je suis pas convaincu. (dans l'article BA loi normale je les avais mises en propriété. Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 13:56 (CET)

J'ai lu la suite un peu en diagonale, j'y reviendrai j'espère. Pour ce qui est de l'aspect pédagogique, j'aimerai bien l'avis d'HB (d · c · b). Merci pour le boulot sur cet article ! --Roll-Morton (discuter) 23 janvier 2015 à 12:03 (CET)

• je ne me prononcerai pas sur l'aspect pédagogique car je ne crois pas possible de faire un article pédagogique classé bon article. Le bon article doit être complet et ambitieux, ce qui n'est pas le cas d'un article pédagogique qui va se voir qualifier de simpliste, voire sera réorienté vers wikiversity. Je laisserai donc les autres lecteurs, habitués du laboratoire des bons articles et des articles de qualités dire si l'article leur a paru suffisamment lisible.  Ipipipourax :, tu ne me verras pas voter sur la page d'évaluation car j'ai cessé de m'intéresser au label, n'étant pas d'accord avec le système de sélection. Bon courage et bravo cependant pour le travail effectué.HB (discuter) 23 janvier 2015 à 19:31 (CET)

  Pas de soucis, je suis d'accord sur le fait que la méthode actuelle ne permet pas d'obtenir un label indiquant : "cet article est parfait". Mon but est plus d'avoir l'avis d'autres contributeurs sur la forme et le fond( pour les connaisseurs). Merci pour tes commentaires. Ipipipourax (discuter) 24 janvier 2015 à 17:07 (CET)

En tout cas merci pour les commentaires, je les verrai un par un. Ipipipourax (discuter) 23 janvier 2015 à 13:56 (CET)

Label BA

Cet article vient d'avoir le label BA, il passera en page d'accueil de wikipedia le 21 février 2015. Ipipipourax (discuter) 11 février 2015 à 12:06 (CET)

moment d'ordre r

Aujourd'hui, une Ip a modifié une formule dûment sourcée faisant passer le moment d'ordre r de ${\frac {n!}{(n-r)!}}\sum _{k=0}^{r}p^{k}S(r,k)$ à $\sum _{k=0}^{r}{\frac {n!}{(n-k)!}}p^{k}S(r,k)$. Je n'ai pas accès aux sources indiquées et ne peut comprendre ni l'une ni l'autre des formules à cause de l'utilisation de la fonction S(r,k) dont la définition n'est pas donnée. Je me contente donc de cette alerte en page de discussion, tant que la modification n'a pas été validée et le sens de S(r,k) explicité dans la section correspondante. HB (discuter) 2 septembre 2015 à 10:16 (CEST)

J'ai accès aux 2 sources sur Google Livres. Hazewinkel ne source pas ça (il donne seulement la fonction génératrice des moments, et les moments centrés μ₂ et μ₃). Johnson et al. donnent une formule fausse (erreur d'indices) $\mu '_{r}=\sum _{j=0}^{r}{\frac {S(r,j)n!p^{r}}{(n-r)!}}$ avec (p. 53) S(r,j) = nombre de Stirling de seconde espèce, mais donnent les mêmes valeurs μ'_r (et μ_r) que nous pour r = 1 à 3 et vont jusqu'à r = 4. La formule de l'IP concorde avec ces valeurs. Anne, 11h45

Merci Anne, bizarrement, je n'ai pas accès à la page 110 du document. Je manque de maitrise sur l'ensemble du sujet, mais tu sembles bien avoir raison, si on veut rester cohérent avec la formule de la page 53 de Johnson et al. combinée à l'égalité de la page 33 de Marc Diener, « Probabilités élémentaires — Chap. 7 : Fonctions génératrices », 2006, il faudrait écrire $\mu '_{r}=\sum _{j=0}^{r}{\frac {S(r,j)n!p^{j}}{(n-j)!}}$. HB (discuter) 2 septembre 2015 à 13:19 (CEST)

J'avais recopié le livre sans trop regarder. effectivement il y a une erreur d'indice dans le livre. Maintenant c'est bon. Le fait de mettre un indice de sommation j ou k ne change rien bien sûr. Merci à l'IP, HB et Anne. Ipipipourax (discuter) 2 septembre 2015 à 15:26 (CEST)

§ Loi des grands nombres

Ce § me semble très confus. Anne, 3/9/15, 4h54

Assez d'accord. En première lecture, on a l'impression d'une redite avec un système de notation bien compliqué et probablement une erreur dans la donnée des paramètres de la la loi binomiale : au lieu de donner n et p, on donne l'espérance et la variance. Si je comprends à travers les lignes ce qui est dit (ou ce que je m'attends à y trouver) cela donnerait :

La variable $\scriptstyle X_{n}$ de loi binomiale b(n, p) étant une somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli d'espérance p, on peut lui appliquer la loi des grands nombres:

$\lim _{n\rightarrow +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{n}}{n}}-p\right|<\varepsilon \right)=1$, pour tout $\scriptstyle \varepsilon >0$.

Ceci peut s'interpréter de la manière suivante. Si l'on sait que lors d'une expérience aléatoire (tirage d'un individu dans une population de grande taille, lancé d'une pièce...) la probabilité d'apparition de la propriété A est p(A), alors la fréquence d'apparition fr(A) de la propriété A au cours de n expériences de ce type (tirages de n individus dans une population de taille N très supérieure à n, n lancés de pièce ...) est presque toujours voisine de p(A). De plus, la probabilité que cette fréquence d'apparition soit proche de p(A) est d'autant meilleure que n est grand.

Maintenant, cet article est labellisé et j'aimerais l'aval d'Ipipipourax avant de modifier dans ce sens. Cependant, je ne vois là rien de spécifique à la loi binomiale. Ce qui serait spécifique serait de donner une vitesse de convergence tirée des propriétés de la loi binomiale. HB (discuter) 3 septembre 2015 à 08:51 (CEST)

L'explication proposée ma parait bien et plus compréhensible pour les non initiés. Par contre j'avais introduit la notation #A pour introduire la formule p(A)=#A/n qui est parfois prise comme une définition d'une probabilité. Ca permet également de préciser que " $\scriptstyle \#A$ suit une loi binomiale $\scriptstyle b\left(np(A),np(A)(1-p(A))\right)$ ". (Formule utilisée en statistique". Ipipipourax (discuter) 3 septembre 2015 à 10:53 (CEST)

• (rép. à HB, conflit d'édit) C'est bien plus clair (et un peu plus proche de la source invoquée). Je propose les fignolages suivants : (déplacé et transformé ci-dessous à 11h40)

Anne, 3/9/15, 11h05

• (rép. à Ipipipourax) Pas d'accord avec la formule que tu proposes d'ajouter (p(A) est un nombre, #A/n est une variable aléatoire). Presque d'accord avec la seconde mais cf. rép. de HB tout au début, et je préfèrerais intégrer cette info dans mon fignolage précédent, comme ceci :

La loi faible des grands nombres, appliquée à un processus de Bernoulli de paramètre p, garantit que pour toute suite (X_n) de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé, et de lois respectives b(n, p) (cf. définition 2 [[#Définition mathématique|ci-dessus]]), on a, pour tout $\scriptstyle \varepsilon >0$ :

$\lim _{n\to +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{n}}{n}}-p\right|<\varepsilon \right)=1.$

Plus précisément, puisque l'[[#Moments|espérance et la variance de X_n]] sont respectivement égales à np et np(1 – p), l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev montre que<ref name="courtin1G17"/> :

$\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{n}}{n}}-p\right|>\varepsilon \right)<{\frac {p(1-p)}{n\,\varepsilon ^{2}}}.$

Cela peut s'interpréter grossièrement de la manière suivante. Si l'on sait que lors d'une expérience aléatoire (tirage d'un individu dans une population de grande taille, lancer d'une pièce…) la probabilité d'apparition de la propriété A est p(A), alors la fréquence d'apparition de la propriété A au cours de n expériences de ce type (tirages de n individus dans une population de taille très supérieure à n, n lancers de pièce…) est souvent voisine de p(A), avec une probabilité d'autant meilleure que n est grand et que p(A) est proche de 0 ou 1.

Anne, 3/9/15, 11h40

Cette proposition me convient. je me demandais seulement si dans la cas d'une loi binomiale, il n'y avait pas une majoration moins grossière que Bienaymé-Tchebychev et si la convergence ne serait pas en 1/n² au lieu de 1/n. HB (discuter) 3 septembre 2015 à 22:10 (CEST)

Oui ! c'est fait très simplement au milieu de la même page 1 G 17 de Courtin (toujours par Bienaymé-Tchebychev mais avec μ₄ au lieu de μ₂). Que faire alors ? le rajouter en note ? le mettre à la place de la majoration actuelle ? Anne, 22h45

Ce serait super de trouver une meilleur source : sauf erreur, par le même raisonnement avec μ_2k, la convergence est même en 1/n^k pour tout k, parce que (par récurrence) μ_2k et μ_2k+1 sont O(n^k). Anne, 4/9, 0h13

Restons-en à la remarque classique, facilement sourçable. En fait, très intuitivement, puisque Xn/n peut être approchée,pour n assez grand, par une loi normale d'espérance p et de variance pq/n, il me semble normal que la convergence soit en exponentielle plutôt qu'en puissance. Cependant, il faut toujours se méfier de ses intuitions... Sauf source explicite parlant de la vitesse de convergence, on peut se contenter de ta majoration. HB (discuter) 4 septembre 2015 à 08:12 (CEST)

Ok pour moi sur ces propositions. Je vous laisse faire, j'avoue avoir moins de temps maintenant pour y travailler. Ipipipourax (discuter) 4 septembre 2015 à 08:39 (CEST)

@HB : je n'arrive pas à sourcer le 1/n^k (sauf pour k = 2) ni, surtout, à l'améliorer (avec ton intuition, la loi normale donne bien du K^–n mais l'erreur est a priori en 1/√n). Anne, 6/9/15, 13h51

Rha!!! Cela confirme qu'il faut toujours se méfier de ses intuitions et que j'aurais gagné à lire cet article attentivement jusqu'au bout. HB (discuter) 6 septembre 2015 à 14:02 (CEST)

Je crois avoir trouvé un document très intéressante sur Bibnum Démonstration du théorème de Bernoulli que l'on pourrait exploiter et qui semble prouver que la covergence est exponentielle. HB (discuter) 6 septembre 2015 à 15:33 (CEST)

que la convergence soit exponentielle découle probablement immédiatement de la page Inégalité de Hoeffding, où le cas particulier de la binomiale est traité en exemple, je crois. Chassaing 12 septembre 2015 à 01:06 (CEST)

Oui j'ai mis avec un référence. (peut etre a vérifier) Ipipipourax (discuter) 14 septembre 2015 à 12:19 (CEST)